Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FAN и LAM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как BK  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 7:1.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу

Оста­лось найти это от­но­ше­ние. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

При­ме­ним те­перь тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние мень­шей части к боль­шей равно

Ответ: